原码反码补码定义
原码反码补码定义
小结
- 正数的原码、反码、补码都一样
- 负数的反码是原码符号位不变，其他位取反；负数的补码是反码 +1
- 补码变原码 (仅针对负数)：符号位保持不变，从后往前开始，保持第一个 1 不变，后面的按位取反，直到符号位
机器数和真值
机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为 0, 负数为 1。
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为 8 位，转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数
真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位 1 代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值 131（10000011 转换成十进制等于 131）。
所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1
原码、反码、补码的基础概念和计算方法
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值。
比如如果是 8 位二进制:
1
2
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以 8 位二进制数的取值范围就是:
1
[1111 1111 , 0111 1111]
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
反码
反码的表示方法是：正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反。
1
2
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
补码
补码的表示方法是：正数的补码就是其本身；负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后 +1. (即在反码的基础上 +1)
1
2
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
计算机为什么用补码？
为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别 “ 符号位 “ 显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
用原码计算，符号参与运算
计算十进制的表达式: 1-1=0
1
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
用反码运算
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在 “0” 这个特殊的数值上. 虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的, 但是 0 带符号是没有任何意义的. 而且会有 [0000 0000] 原和 [1000 0000] 原两个编码表示 0.
用补码运算
于是补码的出现, 解决了 0 的符号以及两个编码的问题:
1
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样 0 用 [0000 0000] 表示, 而以前出现问题的 -0 则不存在了。而且可以用 [1000 0000] 表示 -128:
1
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127 的结果应该是 -128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000] 补 就是 -128. 但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128, 所以 -128 并没有原码和反码表示.(对 -128 的补码表示 [1000 0000] 补算出来的原码是 [0000 0000] 原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么 8 位二进制, 使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127], 而使用补码表示的范围为 [-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
其他
~ 和 ^
1
2
~按位取反，0变1,1变0
^异或，相同为0，不同为1
>>> 和 >> 右移
>>有符号右移
使指定值的所有位都右移规定的次数。右边移出去的部分扔掉不要，左边空出来的部分用原来的数字 (原来最高位) 来填充（这就是所谓的带符号右移）
1
2
3
4
5
0xffffffff >>1
[11111111 11111111 11111111 11111111]补 >> 1
= [11111111 11111111 11111111 11111111]补
= [10000000 00000000 00000000 00000001]原
= -1
>>>无符号右移
与»唯一的不同是它无论原来的最左边是什么数，统统都用 0 填充
1
2
3
4
[11111111 11111111 11111111 11111111]补 >>> 1
=[01111111 11111111 11111111 11111111]补
= [01111111 11111111 11111111 11111111]原
=2147483647 = 7FFFFFFF
1
2
3
4
5
6
7
8
int left = 1;
int right = Integer.MAX_VALUE; // 2147483647
System.out.println("left+right的二进制表示=" + Integer.toBinaryString(left + right));
// 10000000000000000000000000000000 2,147,483,648
System.out.println("left+right的二进制无符号右移1位后=" + (Integer.toBinaryString(left + right >>> 1)));
// 01000000000000000000000000000000 1073741824
System.out.println("left+right的二进制有符号右移1位后=" + (Integer.toBinaryString(left + right >> 1)));
// 11000000000000000000000000000000 3,221,225,472
小结
- int 最大值为
2^31-1，最小值为-2^31，最大值多了个 0 - int 正数的负数 = ~n+1；负数的负数就不适用了，负数比正数多了
-2^31 - int 最小值取反还是本身
1
2
3
4
// int最小值
- 2^31 = 1000000...0000
// 取反后+1，又回到了原来的值了
111111...000 + 1 = 100000...000